Question

如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径的⊙B交边AB于D，AE⊥AB交CD的延长线于E，并且AE=AC．
（1）证明AC是⊙B的切线；
（2）探究DE•DC与2AD•DB是否相等，并说明理由；
（3）如果DE•DC=8，且BC=4，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得∠BCD=∠BDC，∠ACE=∠AEC，再由∠AEC+∠ADE=90°，可得∠ACE+∠BCD=90°，继而可证明结论；
（2）延长DB交⊙B于点F，连接CF，证明△ADE∽△CDF，可得出结论；
（3）由（2）的结论，可求出AD=1，利用切割线定理求出AC，在Rt△ADE中求出DE，继而可得出CD的长度．

解答：解：（1）∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC，
∵BD=BC（都为⊙B的半径），
∴∠BCD=∠BDC，
又∵∠AEC+∠ADE=90°，∠ADE=∠BDC（对顶角相等），
∴∠AEC+∠BDC=90°，
∴∠ACE+∠BCD=90°，即∠ACB=90°，
∴AC是⊙B的切线．

（2）延长DB交⊙B于点F，连接CF，
∵∠DAE=90°=∠DCF=90°，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴

AD

CD

=

DE

DF

，
即CD×DE=AD×DF，
又∵DF=2BD，
∴CD×DE=2BD×AD，
∴DE•DC与2AD•DB相等；

（3）由（2）得：DE•DC=2AD•DB=8，
又∵BD=BC=4，
∴AD=1，
∴AF=AD+DF=1+8=9，
∵AC²=AD×AF（切割线定理），
∴AC=3，
∴AE=3，
在Rt△ADE中，DE=

AE2+AD2

=

10

，
∴CD=

8

10

=

4 10

5

．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了相似三角形的判定与性质，切线的判定及切割线定理，第二问的解答是本题的关键，注意作出辅助线，将2BD转化为DF，难度较大．