Question

二次函数的图象如图所示，P为图象顶点，A为图象与y轴交点．
（1）求二次函数的图象与x轴的交点B、C的坐标；
（2）在x轴上方的函数图象上存在点D，使△BCD的面积是△AOB的面积的6倍，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）依题意，由图象可知顶点P的坐标（2，9），可设二次函数的解析式为y=a（x-2）²+9，把点A坐标代入求出a值．
又因为B，C是函数与x轴的交点，即y=0，代入得0=-（y-2）²+9，求得x的值；
（2）先求出S_△AOB，S_△AOB=

1

2

×1×5=

5

2

，因为S_△BCD=6S_△AOB，易求出S_△BCD．设D（x，y），依题意可知D点在抛物线上，将y=5代入抛物线解析式可求出x的取值．

解答：解：（1）由图象可知，顶点为P（2，9）．
设二次函数的解析式为y=a（x-2）²+9．
∵图象过点A（0，5），
∴5=a（0-2）²+9，
解得a=-1．
∴y=-（x-2）²+9，（2分）
当y=0时，0=-（x-2）²+9．
解得x₁=-l，x₂=5．
∴图象与x轴的交点坐标B（-1，0），C（5，0）（3分）

（2）设D（x，y），其中y＞0．
∵S_△BCD=6S_△AOB，
∴

1

2

×6•|y|=6×

1

2

×1×5
∴|y|=5．
∴y=5（舍负值）（4分）
当y=5时，5=-（x-2）²+9．
解得x₁=0，x₂=4．
∴点D的坐标为D₁（0，5），D₂（4，5）（6分）

点评：熟练掌握二次函数图象与x轴，y轴交点的意义，二次函数顶点坐标与解析式之间的关系，二次函数对称轴的性质和特点，注意二次函数与一次函数以及三角形之间可能出现的出题点．