Question

在五边形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=120°，AB=4，BC=4，CD=8，求五边形的周长和面积．

Answer 1

解：连接AC，延长AB和DC交于F，过B作BM⊥CF于M，
∵∠ABC=∠DCB=120°，
∴∠FCB=∠FBC=60°，
∴∠F=60°，
∴△CBF是等边三角形，
∴CF=BC=BF=4，
∵BM⊥CF，
∴CM=FM=2，
由勾股定理得：BM=2，
∴∠E=360°-∠D-∠EAB-∠F=60°=∠F，
∵∠D=∠EAB，
∴四边形EAFD是平行四边形，
∴DF∥AE，DE=AF=4+4=8，AE=DF=8+4=12
∴五边形的周长是：DE+DC+BC+AB+AE=8+12+4+4+8=36，
∵∠ABC=120°，BC=AB=4，
∴∠BCA=∠BAC=30°，
∴∠ACF=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：AC=4，
∴五边形的面积是S_{平行四边形DEAF}-S_△CBF=AE×AC-×CF×BM=12×4-×4×2=44．
答：五边形的周长是36，面积是44．
分析：连接AC，延长AB和DC交于F，过B作BM⊥CF于M，根据等边三角形的判定证出等边△CFB，求出BM，证直角三角形ACF，求出AC，证四边形DEAF是平行四边形，求出五边形的周长，根据平行四边形的面积和三角形的面积求出即可．
点评：本题综合考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，直角三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的内角和定理等知识点，正确作辅助线构造平行四边形和等边三角形是解此题的关键，题型较好，难度适当，综合性比较强．