Question

12．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．
（1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；
（2）若点P在直线AB上运动，设AP=x，BP=y，请分别计算下面情况时MN的长度：
①当P在AB之间（含A或B）；
②当P在A左边；
③当P在B右边；你发现了什么规律？
（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①$\frac{PA-PB}{PC}$的值不变；②$\frac{PA+PB}{PC}$的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．

Answer 1

分析 （1）根据线段中点的性质，可得MP，NP，根据线段的和差，可得答案；
（2）根据线段中点的性质，可得MP，NP，根据线段的和差，可得答案；
（3）根据线段的和差，可得（PA+PB），（PA-PC），根据分式的性质，可得答案．

解答 解：（1）∵AP=8，点M是AP中点，
∴MP=$\frac{1}{2}$AP=4，
∴BP=AB-AP=6，
又∵点N是PB中点，
∴PN=$\frac{1}{2}$PB=3，
∴MN=MP+PN=7．
（2）①点P在AB之间，MN=$\frac{1}{2}$AB=7；
②点P在AB的延长线上，MN=$\frac{1}{2}$AB=7；
③点P在BA的延长线上，MN=$\frac{1}{2}$AB=7．
（3）选择②．
设AC=BC=x，PB=y，
①$\frac{PA-PB}{PC}$=$\frac{AB}{x+y}$=$\frac{14}{x+y}$（在变化）；
②$\frac{PA+PB}{PC}$=$\frac{2x+2y}{x+y}$=2（定值）．

点评 本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出MP，NP是解题关键．