Question

【题目】如图，直线l经过⊙O的圆心O，且与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q．是否存在点P，使得QP=QO；若存在，求出相应的∠OCP的大小；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

【答案】40°、20°、100°．

【解析】

点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．

①根据题意，画出图(1)，

在△QOC中，OC=OQ，

∴∠OQC=∠OCP，

在△OPQ中，QP=QO，

∴∠QOP=∠QPO，

又∵∠AOC=30°，

∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，

在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，

即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，

整理得，3∠OCP=120°，

∴∠OCP=40°．

②当P在线段OA的延长线上（如图2）

∵OC=OQ，

∴∠OQP=（180°﹣∠QOC）×①，

∵OQ=PQ，

∴∠OPQ=（180°﹣∠OQP）×②，

在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，

把①②代入③得∠QOC=20°，则∠OQP=80°

∴∠OCP=100°；

③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），

∵OC=OQ，

∴∠OCP=∠OQC=（180°﹣∠COQ）×①，

∵OQ=PQ，

∴∠P=（180°﹣∠OQP）×②，

∵∠AOC=30°，

∴∠COQ+∠POQ=150°③，

∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，

①②③④联立得

∠P=10°，

∴∠OCP=180°﹣150°﹣10°=20°．

故答案为：40°、20°、100°．