Question

满足下列两个条件：

(1)对所有的自然数x，x²－2004x＋n＞0；

(2)存在自然数x₀，使－2005x₀＋n≤0．

求正整数n的个数．

Answer 1

答案：
解析：

解：记y1＝x2－2004x＋n，其图像(抛物线)的开口向上． 　　由条件(1)知抛物线在x轴的上方，它与x轴无交点， 　　∴△1＝(－2004)2－4n＜0， 　　∴n＞＝1004004；① 　　记y2＝x2－2005x＋n，其图像(抛物线)的开口向上， 　　由条件(2)知抛物线有一点在x轴上或有一部分在x轴下方，它与x轴至少有一个交点， 　　∴△2＝(－2005)2－4n≥0， 　　∴n≤＝1005006② 　　综合①、②有1004004＜n≤1005006， 　　所以满足以上两个条件的正整数几有1004005，1004006，1004007，…，1005006共1002个． 　　分析：只从不等式本身难以求解．注意两个条件均为二次不等式，联想它们所对应的二次函数图像在坐标系中的位置情况，构造二次函数探求解决． 　　说明：构造二次函数，借助二次函数图像的直观性，把一元二次不等式、一元二次方程的根的判别式联系联系起来，促进了问题的解决．