Question

3．已知a≥2，m²-2am+2=0，n²-2an+2=0，m≠n，则（m-1）²+（n-1）²的最小值是（　　）

• A． 6
• B． 3
• C． -3
• D． 0

Answer 1

分析 根据已知条件得到m，n是关于x的方程x²-2ax+2=0的两个根，根据根与系数的关系得到m+n=2a，mn=2，于是得到4（a-$\frac{1}{2}$）²-3，当a=2时，（m-1）²+（n-1）²有最小值，代入即可得到结论．

解答 解：∵m²-2am+2=0，n²-2an+2=0，
∴m，n是关于x的方程x²-2ax+2=0的两个根，
∴m+n=2a，mn=2，
∴（m-1）²+（n-1）²=m²-2m+1+n²-2n+1=（m+n）²-2mn-2（m+n）+2=4a²-4-4a+2=4（a-$\frac{1}{2}$）²-3，
∵a≥2，
∴当a=2时，（m-1）²+（n-1）²有最小值，
∴（m-1）²+（n-1）²的最小值=4（a-$\frac{1}{2}$）²+3=4（2-$\frac{1}{2}$）²-3=6，
故选A．

点评 本题考查了根与系数的关系，二次函数的最值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．