Question

2．已知，抛物线y=-$\frac{3}{4}$（x-1）²+3顶点为M，点N在抛物线，点P在y轴上，（点M、N、P逆时针方向排列），PN=PM，PN⊥PM，求P点坐标．

Answer 1

分析 由抛物线的顶点式求得M的坐标，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，根据已知得出∠PME=∠NPF，然后证得△PME≌△NPF，得出FN=PE，PF=ME，设P（0，n），则PE=FN=3-n，PF=EM=1，得出N（3-n，n-1），代入抛物线的解析式即可求得．

解答 解：∵抛物线y=-$\frac{3}{4}$（x-1）²+3顶点为M，
∴M（1，3），
作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，
∵PN⊥PM，
∴∠MPE+∠NPF=90°，
∵∠MPE+∠PME=90°，
∴∠PME=∠NPF，
在△PME和△NPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PME=∠NPF}\\{∠PEM=∠NFP}\\{PM=PN}\end{array}\right.$，
∴△PME≌△NPF（AAS），
∴FN=PE，PF=ME，
设P（0，n），则PE=FN=3-n，PF=EM=1，
∴N（3-n，n-1），
∵点N在抛物线上，
∴n-1=-$\frac{3}{4}$（3-n-1）²+3
解得n=$\frac{2}{3}$或n=2，
∴P（0，$\frac{2}{3}$）或（0，2）．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．