Question

已知抛物线y=（1-a）x²+8x+b的图象的一部分如图所示，抛物的顶点在第一象限，且经过点A（0，-7）和点B．
（1）求a的取值范围；
（2）若OA=2OB，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）因为二次函数过点A，所以可以确定b的值，又因为抛物线为y=（1-a）x²+8x-7又抛物线的顶点在第一象限，开口向下，所以抛物线与x轴有两个不同的交点，所以可以确定1-a＜0，△＞0，解不等式组即可求得a的取值范围；
（2）因为OA=2OB，可求得点B的坐标，将点A，B的坐标代入二次函数的解析式即可求得a，b的值，即可求得二次函数的解析式．

解答：解：（1）由图可知，b=-7．（1分）
故抛物线为y=（1-a）x²+8x-7．
又因抛物线的顶点在第一象限，开口向下，
所以抛物线与x轴有两个不同的交点．
∴

1-a＜0 82-4(1-a)(-7)＞0

，
解之，得1＜a＜

23

7

．（3分）
即a的取值范围是1＜a＜

23

7

．（6分）

（2）设B（x₁，0），
由OA=20B，
得7=2x₁，即x₁=

7

2

．（7分）
由于x₁=

7

2

，方程（1-a）x²+8x-7=0的一个根，
∴（1-a）（

7

2

）²+8×

7

2

-7=0
∴a=

19

7

．（9分）
故所求所抛物线解析式为y=-

12

7

x²+8x-7．（10分）

点评：此题考查了二次函数的图象的性质，开口方向，与x轴的交点个数与△的关系，待定系数法求函数解析式等；
解题的关键是数形结合思想的应用．