Question

13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD为△ABC的角平分线，过点B作AD的垂线，分别交AD、AC的延长线于E、F两点，连接CE．
（1）求证：BE=EF；
（2）求证：AD=2BE；
（3）求∠AEC的度数．

Answer 1

分析 （1）由ASA证明△ABE≌△AFE，得出对应边相等即可；
（2）证出∠CAD=∠CBF，由ASA证明△ACD≌△BCF，即可得出结论；
（3）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质、三角形内角和定理得出∠ABF=∠F=67.5°，求出∠CBE=22.5°，由直角三角形斜边上的中线性质得出CE=$\frac{1}{2}$BF=BE，得出∠ECB=∠CBE=22.5°，由三角形的外角性质得出∠CEF=45°，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，BF⊥AD，
∴∠BAE=∠FAE，∠AEB=∠AEF=90°，
在△ABE和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠AEF}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\\{∠BAE=∠FAE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴BE=EF；
（2）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=90°，
∵∠F+∠CBF=90°，∠F+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠CBF，
在△ACD和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠BCF=90°}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\\{∠CAD=∠ABF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF（ASA），
∴AD=BF=2BE；
（3）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵△ABE≌△AFE，
∴AB=AF，
∴∠ABF=∠F=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠CBE=67.5°-45°=22.5°，
∵∠BCF=90°，BE=EF，
∴CE=$\frac{1}{2}$BF=BE，
∴∠ECB=∠CBE=22.5°，
∴∠CEF=2×22.5°=45°，
∴∠AEC=90°-45°=45°．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；证明三角形全等是解决问题的关键．