Question

如图，点A是函数y=

1

x

的图象上的点，点B、C的坐标分别为B（-

2

，-

2

）、C（

2

，

2

）．试利用性质：点“函数y=

1

x

的图象上任意一点A都满足|AB-AC|=2

2

”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F．已知当A在函数y=

1

x

的图象上运动时，OF的长度总等于

 

．

Answer 1

分析：延长BF、AC交于点G．根据全等三角形的判定，得到△ABF≌△AGF，则AB=AG，BF=GF．根据点B和点C的坐标，知点B和点C关于原点对称，则OB=OC，从而根据三角形的中位线定理，得OF=

1

2

CG=

1

2

|AB-AC|=2

2

×

1

2

．

解答：解：延长BF、AC交于点G．
∵AE是∠BAC的内角平分线，
∴∠BAF=∠GAF，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=∠AFG=90°，
又∵AF=AF，
∴△ABF≌△AGF，
∴AB=AG，BF=GF．
∵B（-

2

，-

2

）、C（

2

，

2

），
∴OB=OC，
∴OF=

1

2

CG=

1

2

|AB-AC|=2

2

×

1

2

=

2

．
故答案为：

2

．

点评：此题是一道数形结合题，综合考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、中心对称的性质．