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20.如图,在△ABC中,D为AC上一点,AB=CD,F是AD的中点,M为BC的中点,连结MF并延长交BA延长线于点E,G为EF的中点,求证:AG⊥ME.

分析 连接BD,取BD的中点为O,连接FO,MO,易证MO是△BCD的中位线,FO是△ABD的中位线,进而可证明MO∥AC,OF∥AB,再证明∠AEF=∠AFE,由此可得AE=AF,最后根据等腰三角形的性质即可证明AG⊥ME.

解答 证明:
连接BD,取BD的中点为O,连接FO,MO
∵F是AD的中点,M为BC的中点,
∴MO是△BCD的中位线,FO是△ABD的中位线,
∴MO=$\frac{1}{2}$CD,FO=$\frac{1}{2}$AB,MO∥AC,OF∥AB,
∵AB=CD,
∴MO=FO,
∴∠OFM=∠OMF,
∵OF∥AB,
∴∠OFM=∠AEF,
∵OM∥AC,
∴∠OMF=∠CFM=∠AFE,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∵G为EF的中点,
∴AG⊥ME.

点评 本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判断和性质,解答本题的关键是正确作出辅助线,有一定难度.

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