Question

如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．
（1）设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：
①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；②正方形ABCD的面积；
（2）设MB=a，BQ=b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的面积公式：S=两条直角边的乘积的一半进行计算；
（2）显然根据面积能够验证勾股定理以及完全平方公式．

解答：解：（1）∵网格中每个小正方形的边长为1，
由图可知AQ=3，BQ=4，∠Q=90°．
∴S_△ABQ=

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AQ•BQ=6；同理S_△BCM=S_△CDN=S_△ADP=6．
又∵MQ=7
∴S_{正方形MNPQ}=49．
∴S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}-4S_△ABQ=49-4×6=25．

（2）勾股定理或完全平方公式．
（只要给出其一即可得1分）
验证：在△BCM、△ABQ中．
∵∠M=∠Q=∠ABC=90°，∴∠MBC=∠QAB．
又∵AB=BC
∴△BCM≌△ABQ
同理△CDN≌△DAP≌△BCM．
∵MB=a，BQ=b，S_{正方形MNPQ}=S_{正方形ABCD}+4S_△ABQ
∴（a+b）²=a²+b²+4×

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ab
即（a+b）²=a²+2ab+b²（完全平方公式）
或又∵S_{正方形ABCD}=S_{正方形MNPQ}-4S_△ABQ
∴AB²=（a+b）²-4×

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ab，即AB²=a²+b²．
设AB=c，得c²=a²+b²（勾股定理）

点评：掌握运用面积的计算方法证明勾股定理以及一些公式．