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    （2013•南通二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．
    （1）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），若△APQ∽△ABC，求t的值；
    （2）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为直线l．
    ①当直线l经过点A时，射线QP交AD边于点E，求AE的长；
    ②是否存在t的值，使得直线l经过点B？若存在，请求出所有t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）求出AC，根据△APQ∽△ABC得出方程，求出方程的解即可；
    （2）①根据线段垂直平分线得出AP=AQ，得出3-t=t，求出t=1.5，延长QP交AD于E，过Q作QO∥AD交AC于O，根据△AQO∽△ABC，求出AO=
    5
    2
    ，QO=2，根据△APE∽△OPQ即可求出答案；②（i）当点Q从B向A运动时，直线l过B点，BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，∠PBC=∠PCB，得出CP=AP=
    1
    2
    AC，代入求出即可；（ii）当点Q从A向B运动时，直线l过B点，过P作PG⊥BC于G，根据△PGC∽△ABC求出PG=
    3
    5
    （5-t），CG=
    4
    5
    （5-t），由勾股定理得出方程（6-t）2=（
    4
    5
    t）2+[
    3
    5
    （5-t）]2，求出方程的解即可．
    解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠ABC=90°，
    ∵AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5，
    ∵△APQ∽△ABC，
    ∴
    AP
    AB
    =
    AQ
    AC
    ，
    ∴
    t
    3
    =
    3-t
    5
    ，
    t=
    9
    8
    ；

    （2）①∵QP的垂直平分线过A，
    ∴AP=AQ，
    ∴3-t=t，
    t=1.5，
    ∴AP=AQ=1.5，
    延长QP交AD于E，过Q作QO∥AD交AC于O，
    则QO∥BC，
    ∴△AQO∽△ABC，
    ∴
    AO
    AC
    =
    AQ
    AB
    =
    QO
    BC
    ，
    ∴AO=
    AQ
    AB
    •AC=
    5
    2
    ，QO=
    AQ
    AB
    •BC=2，
    ∴PO=AO-AP=1，
    ∵QO∥AD，
    ∴△APE∽△OPQ，
    ∴
    AE
    OQ
    =
    AP
    OP
    ，
    ∴AE=
    AP
    OP
    •OQ=3．

    ②解：存在t的值，使得直线l经过点B，
    理由是：（i）如图2，
    当点Q从B向A运动时，直线l过B点，
    BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，
    ∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°，
    ∴∠PBC=∠PCB，
    ∴CP=BP=AP=t，
    ∴CP=AP=
    1
    2
    AC=
    1
    2
    ×5=2.5，
    即t=2.5；
    （ii）如图3，
    当点Q从A向B运动时，直线l过B点，
    BP=BQ=3-（t-3）=6-t，AP=t，PC=5-t，
    过P作PG⊥BC于G，
    则PG∥AB，
    ∴△PGC∽△ABC，
    ∴
    PC
    AC
    =
    PG
    AB
    =
    GC
    BC
    ，
    ∴PG=
    PC
    AC
    •AB=
    3
    5
    （5-t），CG=
    PC
    AC
    •BC=
    4
    5
    （5-t），
    由勾股定理得：BP2=BG2+PG2，
    ∴（6-t）2=（
    4
    5
    t）2+[
    3
    5
    （5-t）]2，
    t=
    45
    14
    ，
    存在t的值，使得直线l经过点B，t的值是2.5或
    45
    14
    ．
    点评：本题考查了矩形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
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