Question

3．如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：
①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S_△AGD=S_△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S_△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4$\sqrt{2}$
其中正确有①④⑤．

Answer 1

分析 ①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；
②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE，在用锐角三角函数即可判断；
③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；
④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；
⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；
⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S_△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAD=∠ADO=45°，
由折叠的性质可得：∠ADG=$\frac{1}{2}$∠ADO=22.5°，故①正确．
∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，
∴AE=EF＜BE，
∴AE＜$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{AD}{AE}$＞2，
在Rt△ADE中，tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$＞2，故②错误．
∵∠AOB=90°，
∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，
∴S_△AGD＞S_△OGD，故③错误．
∵∠EFD=∠AOF=90°，
∴EF∥AC，
∴∠FEG=∠AGE，
∵∠AGE=∠FGE，
∴∠FEG=∠FGE，
∴EF=GF，
∵AE=EF，
∴AE=GF，
∵AE=EF=GF，AG=GF，
∴AE=EF=GF=AG，
∴四边形AEFG是菱形，故④正确．
∴∠OGF=∠OAB=45°，
∴EF=GF=$\sqrt{2}$OG，
∴BE=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$OG=2OG．故⑤正确．
∵四边形AEFG是菱形，
∴AB∥GF，AB=GF．
∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，
∴△OGF时等腰直角三角形．
∵S_△OGF=1，
∴$\frac{1}{2}$OG²=1，解得OG=$\sqrt{2}$，
∴BE=2OG=2$\sqrt{2}$，GF=$\sqrt{2+2}$═2，
∴AE=GF=2，
∴AB=BE+AE=2$\sqrt{2}$+2，
∴S_{正方形ABCD}=AB²=（2$\sqrt{2}$+2）²=12+8$\sqrt{2}$，故⑥错误．
∴其中正确结论的序号是：①④⑤共三个．
故答案为①④⑤．

点评 此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质、锐角三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．