Question

如图，线段AB是⊙O的直径，⊙O交线段BC于D，且D是BC中点，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（ ）
①CE•CA=CD•CB；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切线；⑤AD²=AE•AB．

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer 1

【答案】分析：由DE与AC垂直，得到三角形CDE为直角三角形，而由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为90°，得到AD与BC垂直，又D为BC中点，进而得到AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质得到AC与AB相等，故三角形ABC不是直角三角形，所以三角形CDE与ABC不相似，CE•CA与CD•CB不相等，选项①错误；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，故AO为AC的一半，选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得到OD与DE垂直，即∠ODE为90°，故DE为圆O的切线，选项④正确；由两对对应角相等得到三角形ADE与三角形ACD相似，根据对应边成比例得到选项⑤正确，从而得到所有正确选项的个数．
解答：解：显然，△CED为直角三角形，而△ABC不是直角三角形，故两三角形不相似，
所以CE•CA≠CD•CB，选项①错误；
连接OD，∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB=OD，∴∠ODB=∠B，
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠EDA+∠ADO=90°，∠BDO+∠ADO=90°，
∴∠EDA=∠BDO，
∴∠EDA=∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC=AB，又OA=AB，
∴OA=AC，选项③正确；
∵∠DAC=∠EAD，∠DEA=∠CDA=90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴=，即AD²=AE•AB，选项⑤正确；
则正确结论的个数为4个．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线．