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9.已知,AB是⊙O的直径,点P在弧AB上(不含点A、B),把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在⊙O上.
(1)当P在AB上方而C在AB下方时(如图1),判断PO与BC的位置关系,并证明你的判断;
(2)当P、C都在AB上方时(如图2),过C点作CD⊥直线AP于D,且PC=2PD,证明:CD是⊙O的切线.

分析 (1)如图1,根据折叠的性质得∠1=∠2,加上∠A=∠1,则∠A=∠2,再根据圆周角定理得到∠A=∠3,所以∠2=∠3,于是可根据平行线的判定方法判断PO∥BC;
(2)如图2,根据直角三角形三边的关系,先由PC=2PD得到∠1=30°,∠2=60°,再利用折叠的性质得∠3=∠4,则利用平角的定义可计算出∠3=60°,从而判断△OPC为等边三角形,得到∠5=60°,所以∠OCD=90°,然后根据切线的判定定理可得CD是⊙O的切线.

解答 (1)解:PO∥BC.理由如下:如图1,
∵△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在⊙O上,
∴∠1=∠2,
又∵OA=OP,
∴∠A=∠1,
∴∠A=∠2,
∵∠A=∠3,
∴∠2=∠3,
∴PO∥BC;
(2)证明:如图2,
∵CD⊥直线AP,
∴∠PDC=90°
∵PC=2PD,
∴∠1=30°,
∴∠2=60°,
∵△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在⊙O上,
∴∠3=∠4,
∴∠3=$\frac{1}{2}$(180°-60°)=60°,
而OP=OC,
∴△OPC为等边三角形,
∴∠5=60°,
∴∠OCD=∠1+∠5=90°,
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线.

点评 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了折叠的性质、圆周角定理和等边三角形的判定与性质.

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