Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y₁平方厘米，△PCQ的面积为y₂平方厘米．
（1）求y₁与x的函数关系，并在图2中画出y₁的图象；
（2）如图2，y₂的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；
（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点0＜OG＜6，过G作EF垂直于x轴，分别交y₁、y₂的图象于点E、F．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
②当0＜x＜6时，求线段EF长的最大值．

Answer 1

分析：（1）已知了CD=3，根据Q点的速度可以用时间x表示出CQ的长，可根据三角形的面积计算公式得出y₁，x的函数关系式；
（2）可先求出y₂的函数式，然后根据其顶点坐标来确定k的取值．已知了P点走完AC用时8s，因此AC=8k，而AP=kx，CQ=x，那么可根据三角形的面积公式列出关于y₂，x的函数关系式，进而可根据顶点坐标求出k的值；
（3）EF其实就是y₂-y₁，也就是三角形PCQ和CDQ的面积差即三角形PDQ的面积．得出EF的函数关系式后，根据自变量的取值以及函数的性质即可求出EF的最大值．

解答：解：（1）∵S_△DCQ=

1

2

•CQ•CD，CD=3，CQ=x，
∴y₁=

3

2

x（0＜x＜8）．图象如图所示；


（2）S_△PCQ=

1

2

•CQ•CP，CP=8k-xk，CQ=x，
∴y₂=

1

2

×（8k-kx）•x=-

1

2

kx²+4kx．
∵抛物线顶点坐标是（4，12），
∴-

1

2

k•4²+4k•4=12．
解得k=

3

2

．
则点P的速度每秒

3

2

厘米，AC=12厘米；

（3）①观察图象，知线段的长EF=y₂-y₁，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．
②由（2）得y₂=-

3

4

x²+6x．
∴EF=-

3

4

x²+6x-

3

2

x=-

3

4

x²+

9

2

x=-

3

4

（x²-6x+9）+

27

4

=-

3

4

（x-3）²+

27

4

，
∵二次项系数小于0，
∴在0＜x＜6范围，
当x=3时，EF=

27

4

最大．

点评：本题是一道涉及二次函数、一次函数、三角形的有关知识且包含动点问题的综合题．