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    （2012•南开区二模）如图1，点C、B分别为抛物线C1：y1=x2+1，抛物线C2：y2=a2x2+b2x+c2的顶点．分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D，且AB=BD．
    （1）求点A的坐标：
    （2）如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”．其他条件不变，求CD的长和a2的值；
    （3）如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=4x2+b1x+c1”，其他条件不变，求b1+b2的值
    2
    		3
    2
    		3
    （直接写结果）．
    分析：（1）连接AC、BC，根据二次函数图象的对称性可得AC=BC，BC=BD，再根据已知条件AB=BD，可以证明得到△ABC是等边三角形，所以∠ACE=30°，然后设AE=m，根据等边三角形的性质求出CE的长，再根据抛物线C1：y1=x2+1求出点C的坐标，从而表示出点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线C1的解析式，然后解关于m的一元二次方程求出m的值，代入即可得到点A的坐标；
    （2）过点C作CE⊥AB于点E，设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2（x-h1）2+k1，然后表示出C的坐标，再设AE=m，根据等边三角形的性质求出CE的长度，从而得到点A的坐标，把点A的坐标代入抛物线C1，整理后解关于m的一元二次方程，再根据（1）的结论即可求出CD的长；根据CD的长求出CE的长度，然后表示出点B的坐标，根据点B在是抛物线C2的顶点，从而得到抛物线C2的顶点式解析式，然后根据点C在抛物线C2上，把点C的坐标代入抛物线C2的解析式，整理求解即可得到a2的值；
    （3）根据（1）（2）的结论可知，a2=-a1，然后利用两抛物线的对称轴表示出CD的长度，再根据（1）（2）的求解过程可得CD=2×
    		3
    a1
    ，然后代入进行计算即可得解．
    解答：解：（1）如图，连接AC、BC，设直线AB交y轴于点E，
    ∵AB∥x轴，CD∥x轴，C、B为抛物线C1、C2的顶点，
    ∴AC=BC，BC=BD，
    ∵AB=BD，
    ∴AC=BC=AB，
    ∴△ABC是等边三角形，
    ∴∠ACE=30°，
    设AE=m，
    则CE=
    		3
    AE=
    		3
    m，
    ∵y1=x2+1，
    ∴点C的坐标为（0，1），
    ∴点A的坐标为（-m，1+
    		3
    m），
    ∵点A在抛物线C1上，
    ∴（-m）2+1=1+
    		3
    m，
    整理得m2-
    		3
    m=0，
    解得m1=
    		3
    ，m2=0（舍去），
    ∴点A的坐标为（-
    		3
    ，4）；


    （2）如图2，连接AC、BC，过点C作CE⊥AB于点E，
    设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2（x-h1）2+k1，
    ∴点C的坐标为（h1，k1），
    设AE=m，
    ∴CE=
    		3
    m，
    ∴点A的坐标为（h1-m，k1+
    		3
    m），
    ∵点A在抛物线y1=2（x-h1）2+k1上，
    ∴2（h1-m-h1）2+k1=k1+
    		3
    m，
    整理得，2m2=
    		3
    m，
    解得m1=
    		3
    2
    ，m2=0（舍去），
    由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，
    ∵AB=2AE=
    		3
    ，
    ∴CD=
    		3
    ，
    即CD的长为
    		3
    ，
    根据题意得，CE=
    		3
    2
    BC=
    		3
    2
    ×
    		3
    =
    3
    2
    ，
    ∴点B的坐标为（h1+
    		3
    2
    ，k1+
    3
    2
    ），
    又∵点B是抛物线C2的顶点，
    ∴y2=a2（x-h1-
    		3
    2
    ）2+k1+
    3
    2
    ，
    ∵抛物线C2过点C（h1，k1），
    ∴a2（h1-h1-
    		3
    2
    ）2+k1+
    3
    2
    =k1，
    整理得
    3
    4
    a2=-
    3
    2
    ，
    解得a2=-2，
    即a2的值为-2；

    （3）根据（2）的结论，a2=-a1，
    1
    2
    CD=-
    b2
    2a2
    -（-
    b1
    2a1
    ）=
    b2
    2a1
    +
    b1
    2a1
    =
    b1+b2
    2a1
    ，
    根据（1）（2）的求解，CD=2×
    		3
    a1
    ，
    ∴b1+b2=2
    		3
    ．
    点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称性，等边三角形的性质，二次函数的顶点式解析式与一般解析式之间的转化，对同学们的能力要求较高，灵活性较强，规律总结比较重要，总体而言，本题难度较大，是道难得的好题．
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