Question

【题目】已知∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．
（1）⊙P移动到与边OB相切时（如图），切点为D，求劣弧 的长；
（2）⊙P移动到与边OB相交于点E，F，若EF=4 cm，求OC的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接DP、CP，

∵∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C．

∴∠DPC=120°，

∴劣弧 的长为： =2πcm

（2）解：可分两种情况，

①如图2，当P在∠AOB内部，连接PE，PC，过点P做PM⊥EF于点M，延长CP交OB于点N，

∵EF=4 cm，∴EM=2 cm，

在Rt△EPM中，PM= =1cm，

∵∠AOB=60°，∴∠PNM=30°，

∴PN=2PM=2cm，

∴NC=PN+PC=5cm，

在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=5× = cm．

②如图3，当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，

由①可知，PN=2cm，

∴NC=PC﹣PN=1cm，

在Rt△OCN中，OC=NC×tan30°=1× = cm．

综上所述，OC的长为 cm或 cm．

【解析】（1）根据∠AOB=60°，半径为3cm的⊙P沿边OA从右向左平行移动，与边OA相切的切点记为点C，利用弧长公式得出弧 的长；（2）分两种情况分析，①当P在∠AOB内部，根据⊙P移动到与边OB相交于点E，F，利用垂径定理得出EF=4 cm，得出EM=2 cm，进而得出OC的长． ②当P在∠AOB外部，连接PF，PC，PC交EF于点N，过点P作PM⊥EF于点M，进而求出即可．
【考点精析】掌握含30度角的直角三角形和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．