Question

如图，△ABC中，AB=5，cosB=

3

5

，AB•AC=

2 3

sinA

．
（1）求∠C的度数；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，在Rt△ABD中，利用余弦的定义得cosB=

BD

AB

=

3

5

，则BD=3，再利用勾股定理计算出AD=4；在Rt△ACE中，由正弦的定义得sin∠EAC=

EC

AC

，而AB•AC=

2 3

sinA

，则EC=

2 3

5

，然后根据三角形面积公式得

1

2

AD•BC=

1

2

CE•AB，可计算出BC=

3

2

，则CD=BD-BC=3-

3

2

，在Rt△ACD中，tan∠ACD=

AD

CD

=

4

3- 3 2

≈1.874，可求出∠ACD≈62°，所以∠C=180°-62°=118°；
（2）利用三角形面积公式计算△ABC的面积．

解答：解：（1）作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，如图，
在Rt△ABD中，cosB=

BD

AB

=

3

5

，
而AB=5，
∴BD=3，
∴AD=

AB2-BD2

=4，
在Rt△ACE中，sin∠EAC=

EC

AC

，即AC•sin∠EAC=EC，
∵AB•AC=

2 3

sinA

，
∴5EC=2

3

，
∴EC=

2 3

5

，
∵

1

2

AD•BC=

1

2

CE•AB，即4BC=

2 3

5

•5，
∴BC=

3

2

，
∴CD=BD-BC=3-

3

2

，
在Rt△ACD中，tan∠ACD=

AD

CD

=

4

3- 3 2

≈1.874，
∴∠ACD≈62°，
∴∠C=180°-62°=118°；
（2）△ABC的面积=

1

2

BC•AD=

1

2

×

3

2

×4=

3

．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．