Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC；④BE+CF=EF．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）上述结论始终正确的结论个数为

3

．

Answer 1

分析：利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．

解答：解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，
又∵AP=CP，∠EPA=∠FPC，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可证△APF≌△BPE，
∴AE=CF，故①小题正确；

PE=PF，∠EPF是直角，
∴△EPF是等腰直角三角形，故②小题正确；

S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC，故③小题正确；

∵AE=CF（已证），
∴BE=AF，
∴BE+CF=AE+AF，
在△AEF中，AE+EF＞EF，
∴④小题错误．
综上所述，正确的选项有①②③共3个．
故答案为：3．

点评：此题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定．