Question

如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
（1）旋转的中心是哪一点？旋转了多少度？
（2）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？请说明理由．
（3）现把△ABF向左平移，使AB与重合DC，得△DCH，DH交AE于点G，试说明DH⊥AE．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90°，然后利用旋转的定义得到当△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合时，可确定旋转的中心和旋转的角度；
（2）由（1）得到△ADE绕着点A逆时针旋转90°后与△ABF重合，根据旋转的性质得∠FAE=90°，AF=AE，由此可判断△AEF是等腰直角三角形；
（3）由△ABF向左平移得△DCH，根据平移的性质得DH∥AF，而∠EAF=90°，则AE⊥AF，根据平行线的性质得到DH⊥AE．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴当△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合时，旋转的中心是点A，旋转的角度是90°；

（2）△AEF是等腰直角三角形．理由如下：连结EF，
∵△ADE绕着点A逆时针旋转90°后与△ABF重合，
∴∠FAE=90°，AF=AE，
∴△AEF是等腰直角三角形；

（3）∵△ABF向左平移得△DCH，
∴DH∥AF，
∵∠EAF=90°，
∴AE⊥AF，
∴DH⊥AE．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和平移的性质．