Question

如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．
（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；
（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；
（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v₁匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v₂．

Answer 1

分析：利用相似三角形对应边成比例解题．

解答：解：（1）由题意可知：AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC．
∴

AC

OC

=

AB

OP

，
∵OP=l，AB=h，OA=a，
∴

AC

a+AC

=

h

l

，
∴解得：AC=

ah

l-h

．

（2）∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴

AB

OP

=

AC

OC

=

h

l

，
即

AC

OC-AC

=

h

l-h

，即

AC

OA

=

h

l-h

．
∴AC=

h

l-h

•OA．
同理可得：DA=

h

l-h

•O′A，
∴DA+AC=

h

l-h

(OA+O′A)=

hm

l-h

是定值．

（3）根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长（如图）．
由（1）可知

AC

OC

=

AB

OP

，即

h

l

=

AC

OC

，∴

OA

OC

=

OC-AC

OC

=

l-h

l

，
同理可得：

OA′

OC′

=

l-h

l

，
∴

OA

OC

=

OA′

OC′

，
由等比性质得：

AA′

CC′

=

OA′-OA

OC′-OC

=

l-h

l

，
当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比
∴

AA′

CC′

=

v1

v2

=

l-h

l

，
所以人影顶端在地面上移动的速度为v2=

lv1

l-h

．

点评：此题是把实际问题转化成相似三角形的问题，然后利用相似三角形对应边成比例解题．