Question

2．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，OC=1，BC=5，cos∠BCO=$\frac{4}{5}$．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上有一点E（O点除外），使得△BDE与△BDO的面积相等，求出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥x轴于D，如图，先利用解直角三角形确定A（-3，-3），再把A点坐标代入代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0）可求得k=9，则可得到反比例函数解析式；然后把A和C点坐标分别代入y=ax+b得到关于a、b的方程组，再解方程组求出a和b的值，从而可确定一次函数解析式；
（2）因为一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与y轴交于D点，所以求得D（0，-$\frac{3}{4}$），再因为S_△BDE=S_△BDO，所以DE=OD=$\frac{3}{4}$，即可得出OE=$\frac{3}{2}$，则E（0，-$\frac{3}{2}$）．

解答 解：（1）作BD⊥x轴于D，如图，
在Rt△CBD中，cos∠BCO=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{4}{5}$，
∵BC=5，OC=1，
∴CD=4，BD=3，
∴A（-3，-3），
把A（-3，3）代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0）得K=-3×（-3）=9，
所以反比例函数解析式为y=$\frac{9}{x}$；
∵OC=1，
∴C（1，0），
把B（-3，-3）、C（1，0）分别代入y=ax+b得$\left\{\begin{array}{l}{-3a+b=-3}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
所以一次函数解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$；
（2）∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与y轴交于D点，
∴当x=0时，x=-$\frac{3}{4}$，
∴D（0，-$\frac{3}{4}$），即OD=$\frac{3}{4}$，
∵S_△BDE=S_△BDO，
∴DE=OD=$\frac{3}{4}$，
∴OE=$\frac{3}{2}$，即E（0，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．