Question

18．如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由AE=AB，可得∠ABE=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，又由∠BAC=2∠CBE，可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°，继而证得结论；
（2）首先连接BD，易证得△ABD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：∵AE=AB，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC=）=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=2∠CBE，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°-$\frac{1}{2}$∠BAC）+$\frac{1}{2}$∠BAC=90°，
即AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AB}{AC}$，
∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∴$\frac{AD}{8}=\frac{8}{10}$，
解得：AD=6.4，
∵AE=AB=8，
∴DE=AE-AD=8-6.4=1.6．

点评 此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线，证得△ABD∽△ACB是解此题的关键．