Question

8．如图，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，△PCQ的周长为4，正方形ABCD的边长是多少？

Answer 1

分析 延长CB到点E，使BE=DQ，如图，先证明△ABE≌△ADQ得到AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，则∠EAQ=90°，所以∠PAQ=∠EAP=45°，再证明△APE≌△APQ得到PE=PQ，然后利用三角形的周长可求出BC的长．

解答 解：延长CB到点E，使BE=DQ，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠ABC=∠BAD=∠D=90°，
在△ABE和△ADQ中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADQ}\\{BE=DQ}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADQ，
∴AE=AQ，∠BAE=∠DAQ，
∴∠EAQ=∠BAE+∠BAQ=∠DAQ+∠BAQ=90°，
∵∠PAQ=45°，
∴∠EAP=45°，
在△APE和△APQ中
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{∠PAE=∠PAQ}\\{AE=AQ}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△APQ，
∴PE=PQ，
∴PQ=PB+DQ，
∵△PCQ的周长为4，
∴PQ+PC+CQ=4，
∴PB+DQ+PC+CQ=4，
即BC+DC=4，
∴BC=CD=2，
即正方形ABCD的边长为2．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．也考查了全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是证明PQ=PB+DQ．