Question

7．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=$\sqrt{3}$，点P在边BC上的，过点P作PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿PQ对折，点C的对应点R恰好落在AB边上，则CP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 首先作辅助线构造相似三角形；然后借助平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定及其性质求出线段BR的长度；借助勾股定理即可求出CP的长．

解答 解：如图，当点R落在矩形ABCD的AB边上时，
过点Q作QK⊥AB于点K；

∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形QKBC也为矩形，
∴QK=BC=AD；
由题意知：△QRP≌△QCP，
∴RP=CP（设为x），QR=QC（设为y），
∠QRP=∠C=90°；
∵PQ∥BD，
$\frac{QC}{QD}$=$\frac{PC}{BC}$，而DC=AB=3，BC=AD，
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$；
∵∠QKR=∠QRP=∠RBP=90°，
∴∠KQR+∠QRK=∠QRK+∠PRB，
∴∠KQR=∠PRB，
∴△QKR∽△RBP，
$\frac{QR}{QP}$=$\frac{QK}{RB}$，$\frac{QR}{QP}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，QK=$\sqrt{3}$，
∴RB=1；在直角△BRP中，
由勾股定理得：RP²=RB²+BP²，
x²=1+（$\sqrt{3}$-x）²，
解得x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了折叠问题上，解题的关键是构造相似三角形，熟记折叠问题的特性．