Question

已知抛物线y=ax²-x+c经过点Q（-2，

3

2

），且它的顶点P的横坐标为-1．设抛物线与x轴相交于A、B两点，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）设PB于y轴交于C点，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）横坐标为-1，那么-

b

2a

=-1，再把点Q坐标代入即可．
（2）与x轴的交点，此时，函数值y=0，可化为一元二次方程求解．
（3）易求得AB之间的距离，可设出一次函数的解析式，把P、B坐标代入即可求得过P、B的解析式，与y轴的交点就是OC的长．

解答：解：（1）由题意得

3 2 =a(-2)2-(-2)+c - -1 2a =-1

，
解得a=-

1

2

，c=

3

2

．
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²-x+

3

2

．

（2）把y=0代入y=-

1

2

x²-x+

3

2

得：-

1

2

x²-x+

3

2

=0，
整理得x²+2x-3=0．
变形为（x+3）（x-1）=0，
解得x₁=-3，x₂=1．
∵抛物线与x轴的交点A点在x轴负半轴，B点在x轴正半轴，
∴A（-3，0），B（1，0）．

（3）将x=-l代入y=-

1

2

x²-x+

3

2

中，
得y=2，即P（-1，2）．
设直线PB的解析式为y=kx+b，
将P（-1，2），B（1，0）代入得：

2=-k+b 0=k+b

，
解得：k=-1，b=1．
即直线PB的解析式为y=-x+1．
把x=0代入y=-x+1中，则y=1，即OC=1．
又∵AB=AO+OB=1+3=4，
∴S_△ABC=

1

2

×AB×OC=

1

2

×4×1=2，即△ABC的面积为2．

点评：图象与x轴的交点的纵坐标为0；二次函数的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）；数轴上两点间的距离=数轴右边的数减去左边的数．