Question

6．如图，已知O是矩形ABCD内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD的长为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过O作EF⊥AD于E，交BC于F；过O作GH⊥DC于G，交AB于H，设CF=x，FB=y，AH=s，HB=t，则可得x²-y²=16-9，t²-s²=3²-1²=8，整理得OD²=x²+s²=（y²+t²）-1=8，即可解题．

解答 解：如图，过O作EF⊥AD于E，交BC于F；过O作GH⊥DC于G，交AB于H，
设CF=x，FB=y，AH=s，HB=t，
所以OG=x，DG=s
所以OF²=OB²-BF²=OC²-CF²
即4²-x²=3²-y²
所以x²-y²=16-9=7（1）
同理有OH²=1²-s²=3²-t²
所以t²-s²=3²-1²=8（2）
又因为OH²+HB²=OB²即y²+t²=9
（1）-（2）得（x²+s²）-（y²+t²）=-1
所以OD²=x²+s²=（y²+t²）-1=9-1=8
所以OD=2$\sqrt{2}$；
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中整理计算OD的长度是解题的关键．