如图.在Rt△ABC中.∠A=90°.BC=10cm.AC=6cm.在线段BC上.动点P以2cm/s的速度从点B向点C匀速运动,同时在线段CA上.点Q以acm/s的速度从点C向点A匀速运动.当点P到达点C时.两点运动停止.在运动过程中．(1)当点P运动$\frac{30}{11}$s时.△CPQ与△ABC第一次相似.求点Q的速度a,(2)当△CPQ与△ABC第二次相似时.求点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

7．

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10cm，AC=6cm，在线段BC上，动点P以2cm/s的速度从点B向点C匀速运动；同时在线段CA上，点Q以acm/s的速度从点C向点A匀速运动，当点P到达点C（或点Q到达点A）时，两点运动停止，在运动过程中．
（1）当点P运动$\frac{30}{11}$s时，△CPQ与△ABC第一次相似，求点Q的速度a；
（2）当△CPQ与△ABC第二次相似时，求点P总共运动了多少秒？

分析（1）由于∠QCP=∠ACB，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当$\frac{QC}{AC}$=$\frac{PC}{BC}$时可判定△CPQ∽△CBA，即$\frac{\frac{30}{11}a}{6}$=$\frac{10-\frac{60}{11}}{10}$，然后解方程可求出a的值；
（2）由于∠QCP=∠ACB，则$\frac{QC}{BC}$=$\frac{PC}{AC}$，△CPQ∽△CAB，即$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，然后解t的方程即可．

解答解：（1）如图1，BP=$\frac{30}{11}$×2=$\frac{60}{11}$，
∵∠QCP=∠ACB，
∴当$\frac{QC}{AC}$=$\frac{PC}{BC}$，△CPQ∽△CBA，即$\frac{\frac{30}{11}a}{6}$=$\frac{10-\frac{60}{11}}{10}$，解得a=1，
∴点Q的速度a为1cm/s；

（2）如图2，设点P总共运动了t秒，
∵∠QCP=∠ACB，
∴当$\frac{QC}{BC}$=$\frac{PC}{AC}$，△CPQ∽△CAB，即$\frac{t}{10}$=$\frac{10-2t}{6}$，解得t=$\frac{50}{13}$，
∴点P总共运动了$\frac{50}{13}$秒．

点评本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．

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