Question

（2013•莒南县一模）已知，如图二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点C（0，4）与x轴交于点A、B，点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1．直线AD交抛物线于点D（2，m），
（1）求二次函数的解析式并写出D点坐标；
（2）点Q是线段AB上的一动点，过点Q作QE∥AD交BD于E，连结DQ，当△DQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）抛物线与y轴交于点C，直线AD与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形CMNF周长取最小值时，求出满足条件的点M和点N的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据点C（0，4），点B（4，0），抛物线的对称轴为x=1可得关于a，b，c的方程组，解方程求得a，b，c的值，从而得到二次函数的解析式，再将点D（2，m）代入二次函数的解析式，得到关于m的方程，求得m的值，从而求解；
（2）先求得A，B点的坐标，过点E作EG⊥QB，根据相似三角形的判定和性质可得EG=

8-2t

3

，由于S_△DQE=S_△BDQ-S_△BEQ，配方后即可得到S_△DQE有最大值时Q点的坐标；
（3）根据待定系数法得到直线AD的解析式为：y=x+2，过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，-2），再连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称，则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2

10

，得到四边形CFNM的最短周长为：2+2

10

时直线DF′的解析式为：y=3x-2，长而得到满足条件的点M和点N的坐标．

解答：解：（1）由题意有：

c=4 16a+4b+c=0 - b 2a =1

，
解得：a=-

1

2

，b=1，c=4．
所以，二次函数的解析式为：y=-

1

2

x²+x+4，
∵点D（2，m）在抛物线上，即m=-

1

2

×2 ²+2+4=4，
所以点D的坐标为（2，4）

（2）令y=0，即-

1

2

x²+x+4=0，解得：x₁=4，x₂=-2
∴A，B点的坐标分别是（-2，0），（4，0）
过点E作EG⊥QB，垂足为G，设Q点坐标为（t，0），
∵QE∥AD，
∴△BEQ与△BDA相似
∴

BQ

AB

=

EG

4

，即

4-t

6

=

EG

4

，
∴EG=

8-2t

3

，
∴S_△BEQ=

1

2

×（4-t）×

8-2t

3

，
∴S_△DQE=S_△BDQ-S_△BEQ
=

1

2

×（4-t）×4-S_△BEQ
=2（4-t）-

1

3

（4-t）²
=-

1

3

t²+

2

3

t+

8

3

后
=-

1

3

（t-1）²+3，
∴当t=1时，S_△DQE有最大值，所以此时Q点的坐标为（1，0）；

（3）如图，由A（-2，0），D（2，4），可求得直线AD的解析式为：y=x+2，即点F的坐标为：F（0，2），
过点F作关于x轴的对称点F′，即F′（0，-2），再连接DF′交对称轴于M′，x轴于N′，由条件可知，点C，D是关于对称轴x=1对称
则CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2

10

，
则四边形CFNM的周长=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C
即四边形CFNM的最短周长为：2+2

10

．
此时直线DF′的解析式为：y=3x-2，
所以存在点N的坐标为N（

2

3

，0），点M的坐标为M（1，1）．

点评：此题考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数求函数解析式，相似三角形的判定和性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．