Question

20．如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，则小正方形的周长为（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{6}}{8}$
• B． $\frac{5\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{5\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{10\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 先利用勾股定理求出DF，再根据△BEF∽△CFD，得$\frac{EF}{DF}$=$\frac{BF}{DC}$求出EF即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，面积为24，
∴BC=CD=2$\sqrt{6}$，∠B=∠C=90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠EFG=90°，
∵∠EFB+∠DFC=90°，∠BEF+∠EFB=90°，
∴∠BEF=∠DFC，∵∠EBF=∠C=90°，
∴△BEF∽△CFD，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{BF}{DC}$，
∵BF=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，CF=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，DF=$\sqrt{C{D}^{2}+C{F}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{2}$，
∴$\frac{EF}{\frac{5\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{2\sqrt{6}}$，
∴EF=$\frac{5\sqrt{6}}{8}$，
∴正方形EFGH的周长为$\frac{5\sqrt{6}}{2}$．
故选C．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．