Question

已知抛物线y=-x²+2mx-m²-m+3
（1）证明抛物线顶点一定在直线y=-x+3上；
（2）若抛物线与x轴交于M、N两点，当OM•ON=3，且OM≠ON时，求抛物线的解析式；
（3）若（2）中所求抛物线顶点为C，与y轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x轴交于点B，直线y=-x+3与x轴交于点A．点P为抛物线对称轴上一动点，过点P作PD⊥AC，垂足D在线段AC上．试问：是否存在点P，使S_△PAD=

1

4

S_△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据抛物线的解析式，用配方法得出抛物线顶点的表达式，然后代入直线y=-x+3中即可得出所证的结论．
（2）已知：OM•ON=3，根据一元二次方程根与系数的关系可知：方程0=-x²+2mx-m²-m+3中，m²-m+3=±3，据此可求出m的值，然后可根据OM≠ON和方程的△＞0将不合题意的m值舍去，由此可求出抛物线的解析式．
（3）可先根据抛物线和直线AC的解析式求出A、C点的坐标．进而可求出AC的长．可先设PD的长为x，那么可用x表示出CD，AD的长，进而可表示出△APD的面积，根据S_△PAD=

1

4

S_△ABC，即可得出x的值，也就能求出CD、PD的长，进而可求出CP的长，也就不难得出P点的坐标了．

解答：解：（1）y=-x²+2mx-m²-m+3=-（x-m）²-m+3，
∴顶点坐标为（m，-m+3），
∴顶点在直线y=-x+3上．

（2）∵抛物线与x轴交于M、N两点，
∴△＞0，
即：（2m）²-4（m²+m-3）＞0，
解得：m＜3，
∵OM•ON=3，
∴m²+m-3=±3，
当m²+m-3=-3时，m²+m=0，
∴m=0，m=-1，
∴当m=0时，y₁=-x²+3（与OM≠ON矛盾，舍），
∴m=-1，y₁=-x²-2x+3，
当m²+m-3=3时，m²+m-6=0，
∴m=2，m=-3，
∴y₂=-x²+4x-3，y₃=-x²-6x-3．

（3）∵抛物线与y轴交点在原点的上方
∴y=-x²-2x+3，
∴C（-1，4），B（-1，0），
∵直线y=-x+3与x轴交于点A，
∴A（3，0），
∵BA=BC，
∴∠PCD=45°，
∴设PD=DC=x，
则PC=

2

x，AD=4

2

-x，
∵S_△PAD=

1

4

S_△ABC，
∴

1

2

（4

2

-x）•x=

1

4

×

1

2

×4×4，x²-4

2

x+4=0；
解得：x=2

2

±2；
当x=2

2

+2时，PC=

2

x=4+2

2

，
∴4-y_P=4+2

2

，
∴y_P=-2

2

，
∴P（-1，-2

2

），
当x=2

2

-2时，PC=4-2

2

，
∴y_P=2

2

，
∴P（-1，2

2

），
∴P（-1，2

2

）或P（-1，-2

2

）．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数解析式的确定，图形面积的求法等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法．