Question

13、已知定由“若大于3的三个质数a、b、c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数”．试问：这个定理中的整数n的最大可能值是多少？请证明你的结论．

Answer 1

分析：先将a+b+c化为3（a+2b）的形式，说明a+b+c是3的倍数，然后利用整除的性质对a、b被3整除后的余数加以讨论，得出a+2b也为3的倍数．

解答：证明：∵a+b+c=a+b+2a+5b=3（a+2b），
显然，3|a+b+c，
若设a、b被3整除后的余数分别为r_a、r_b，则r_a≠0，r_b≠0．
若r_a≠r_b，则r_a=2，r_b=1或r_a=1，r_b=2，
则2a+5b=2（3m+2）+5（3n+1）=3（2m+5n+3），或者2a+5b=2（3p+1）+5（3q+2）=3（2P+5q+4），
即2a+5b为合数与已知c为质数矛盾．
∴只有r_a=r_b，则r_a=r_b=1或r_a=r_b=2．
于是a+2b必是3的倍数，从而a+b+c是9的倍数．
又2a+5b=2×11十5×5=47时，
a+b+c=11+5+47=63，
2a+5b=2×13十5×7=61时，
a+b+c=13+7+61=81，
而（63，81）=9，故9为最大可能值．

点评：本题考查了数的整除性问题．由余数切入进行讨论，是解决整除问题的重要方法．