Question

如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是高，BE平分∠ABC交CD于点E，EF∥AC交AB于点F，交BC于点G．在结论：（1）∠EFD=∠BCD；（2）AD=CD；（3）CG=EG；（4）BF=BC中，一定成立的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE=∠BCA=90°，然后根据等角的余角相等即可求出∠EFD=∠BCD；只有△ABC是等腰直角三角形时AD=CD，CG=EG；利用“角角边”证明△BCE和△BFE全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BF=BC．

解答：解：∵EF∥AC，∠BCA=90°，
∴∠CGE=∠BCA=90°，
∴∠BCD+∠CEG=90°，
又∵CD是高，
∴∠EFD+∠FED=90°，
∵∠CEG=∠FED（对顶角相等），
∴∠EFD=∠BCD，故（1）正确；
只有∠A=45°，即△ABC是等腰直角三角形时，AD=CD，CG=EG，故（2）（3）错误；
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠EBF，
在△BCE和△BFE中，

∠EFD=∠BCD ∠EBC=∠EBF BE=BE

，
∴△BCE≌△BFE（AAS），
∴BF=BC，故（4）正确，
综上所述，正确的有（1）（4）共2个．
故选B．

点评：本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，综合题，但难度不大，熟记性质是解题的关键．