已知在四边形ABCD中.∠A=x.∠C=y.(0°＜x＜180°.0°＜y＜180°)．(1)∠ABC+∠ADC=360°-x-y,(2)如图1.若x=y=90°.DE平分∠ADC.BF平分与∠ABC相邻的外角.请写出DE 与 BF 的位置关系.并说明理由．(3)如图2.∠DFB为四边形ABCD的∠ABC.∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角.①当x＜y时.若x+y=140°.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC=360°-x-y（用含x、y的代数式表示）；
（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE 与 BF 的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，
①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．

分析（1）利用四边形内角和定理得出答案即可；
（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出即可；
（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB=$\frac{1}{2}$y-$\frac{1}{2}$x=30°，进而得出x，y的值；
②当x=y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．

解答解：（1）∠ABC+∠ADC=360°-x-y；
故答案为：360°-x-y；

（2）如图1，延长DE交BF于G
∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；

（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF+∠CBF=$\frac{1}{2}$（x+y），
如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB=180°-y，
得∠FBD+∠FDB=180°-y+$\frac{1}{2}$（x+y）=180°-$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{2}$x，
∴∠DFB=$\frac{1}{2}$y-$\frac{1}{2}$x=30°，
解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=140°}\\{\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}x=30°}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=40°}\\{y=100°}\end{array}\right.$；
②当x=y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．

点评此题主要考查了多边形的内角和角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，正确应用角平分线的性质是解题关键．

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