Question

【题目】如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．

（1）直接写出抛物线的解析式： ；

（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？最大面积是多少？

（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），当t=5时，S最大=；（3）存在，P（，）或P（8，0）或P（，）．

【解析】

试题分析：（1）将点A、B代入抛物线即可求出抛物线的解析式；

（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8﹣t，然后令y=0，求出点E的坐标为（﹣2，0），进而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：，然后转化为顶点式即可求出最值为：S最大=；

（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，进而可知：当t=5时，OC=5，OD=3，进而可得CD=，从而确定C，D的坐标，即可求出直线CD的解析式，然后过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，然后求出直线EF的解析式，与抛物线联立方程组解得即可得到其中的一个点P的坐标，然后利用面积法求出点E到CD的距离，过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN等于点E到CD的距离，然后求出N的坐标，再过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，然后求出直线NH的解析式，与抛物线联立方程组求解即可得到其中的另两个点P的坐标．

试题解析：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=3，c=8，∴抛物线的解析式为：，故答案为：；

（2）∵点A（0，8）、B（8，0），∴OA=8，OB=8，令y=0，得：，解得：，，∵点E在x轴的负半轴上，∴点E（﹣2，0），∴OE=2，根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，∴OD=8﹣t，∴DE=OE+OD=10﹣t，∴S=DEOC=（10﹣t）t=，即=，∴当t=5时，S最大=；

（3）由（2）知：当t=5时，S最大=，∴当t=5时，OC=5，OD=3，∴C（0，5），D（3，0），由勾股定理得：CD=，设直线CD的解析式为：，将C（0，5），D（3，0），代入上式得：k=，b=5，∴直线CD的解析式为：，过E点作EF∥CD，交抛物线与点P，如图1，

设直线EF的解析式为：，将E（﹣2，0）代入得：b=，∴直线EF的解析式为：，将，与联立成方程组得：，解得：，或，∴P（，）；

过点E作EG⊥CD，垂足为G，∵当t=5时，S△ECD=CDEG=，∴EG=，过点D作DN⊥CD，垂足为N，且使DN=，过点N作NM⊥x轴，垂足为M，如图2，

可得△EGD∽△DMN，∴，∴EGDN=EDDM，即：DM==，∴OM=，由勾股定理得：MN==，∴N（，），过点N作NH∥CD，与抛物线交与点P，如图2，设直线NH的解析式为：，将N（，），代入上式得：b=，∴直线NH的解析式为：，将，与联立成方程组得：，解得：，或，∴P（8，0）或P（，），

综上所述：当△CED的面积最大时，在抛物线上存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，点P的坐标为：P（，）或P（8，0）或P（，）．