分析 (1)首先求出一次函数y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与坐标轴交点A、B的坐标,然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长;
(2)假设存在,然后从存在出发,即将四边形ADEF是菱形作为条件求出t的值即可.
(3)当△ADF是直角三角形时,有两种情形,需要分类讨论:
①若∠ADF=90°.首先求出此时t的值;其次求出点G的坐标,利用待定系数法求出直线BG的解析式,得到点M的坐标;最后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式;
②若∠AFD=90°,解题思路与①相同.
解答 解:(1)在直线解析式y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$中,令x=0,得y=$\sqrt{3}$;令y=0,得x=-1.
∴A(-1,0),B(0,$\sqrt{3}$),OA=1,OB=$\sqrt{3}$.
∴tan∠OAB=$\sqrt{3}$.
∴∠OAB=60°.
∴AB=2OA=2.
∵EG∥OA,DE∥AB,
∴四边形ADEF为平行四边形.
∴EF=AD=t,
BF=2EF=2t.
∴BE=$\sqrt{3}$t,
∴AF=AB-BF=2-2t;
(2)存在,∵GE=2OA=2,
∴GF=2-t,若AE∥BG,则△FGB∽△FEA,
∵∠GFB=∠EFA,
∴$\frac{EF}{GF}=\frac{AF}{BF}$,$\frac{t}{2-t}=\frac{2-2t}{2t}$,解得t=$\frac{2}{3}$.
∴t=$\frac{2}{3}$时,AE∥BG.
此时四边形ADEF是菱形,EF=AF=$\frac{2}{3}$,
∴四边形ADEF是菱形;
(3)当△ADF是直角三角形时,
①若∠ADF=90°,
此时AF=2DA,即2-2t=2t,解得t=$\frac{1}{2}$.
∴BE=$\sqrt{3}$EF=$\sqrt{3}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,OE=OB-BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
∴E(0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),G(-2,$\frac{\sqrt{3}}{2}$).
设直线BG的解析式为y=kx+b,
将B(0,$\sqrt{3}$),G(-2,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)代入得:
$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{-2k+b=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{4}}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$.
∴直线BG的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{4}x+\sqrt{3}$.
令x=-1,得y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$,∴M(-1,$\frac{3\sqrt{3}}{4}$).
设抛物线解析式为y=a(x+1)2+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$,
∵点E(0,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)在抛物线上,
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}=a+\frac{3\sqrt{3}}{4}$,解得a=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$.
抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$(x+1)2+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$,即y=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x2-$\frac{\sqrt{3}}{2}x$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$;
②若∠AFD=90°,
此时AD=2AF,即:t=2(2-2t),解得:t=$\frac{4}{5}$.
∴BE=$\sqrt{3}$t=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$,OE=OB-BE=$\frac{\sqrt{3}}{5}$.
∴E(0,$\frac{\sqrt{3}}{5}$),G(-2,$\frac{\sqrt{3}}{5}$).
设直线BG的解析式为y=k1x+b1,
将B(0,$\sqrt{3}$),G(-2,$\frac{\sqrt{3}}{5}$)代入得:
$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}=\sqrt{3}}\\{-2{k}_{1}+{b}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{5}}\\{{b}_{1}=\sqrt{3}}\end{array}\right.$,.
∴直线BG的解析式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$x+$\sqrt{3}$.
令x=-1,得y=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$,∴M(-1,$\frac{3\sqrt{3}}{5}$).
设抛物线解析式为y=a(x+1)2+$\frac{3\sqrt{3}}{5}$,
∵点E(0,$\frac{\sqrt{3}}{5}$)在抛物线上,
∴$\frac{\sqrt{3}}{5}=a+$$\frac{3\sqrt{3}}{5}$,解得a=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$.
∴抛物线解析式为y=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$(x+1)2+$\frac{3\sqrt{3}}{5}$,即y=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$x2-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$x+$\frac{\sqrt{3}}{5}$.
点评 本题是中考压轴题,涉及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解直角三角形、菱形等知识点.第(3)问中,有两种情形存在,需要分类讨论,避免漏解.
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