如图,抛物线y=﹣x2+x﹣2交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,分别过点B,C作y轴,x轴的平行线,两平行线交于点D,将△BDC绕点C逆时针旋转,使点D旋转到y轴上得到△FEC,连接BF.
(1)求点B,C所在直线的函数解析式;
(2)求△BCF的面积;
(3)在线段BC上是否存在点P,使得以点P,A,B为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)当y=0时,﹣x2+x﹣2=0,
解得x1=2,x2=4,
∴点A,B的坐标分别为(2,0),(4,0),
当x=0时,y=﹣2,
∴C点的坐标分别为(0,﹣2),
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
则,
解得.
∴直线BC的解析式为y=x﹣3;
(2)∵CD∥x轴,BD∥y轴,
∴∠ECD=90°,
∵点B,C的坐标分别为(4,0),(0,﹣2),
∴BC===2,
∵△FEC是由△BDC绕点C逆时针旋转得到,
∴△BCF的面积=BC•FC=×2×2=10;
(3)存在.
分两种情况讨论:
①过A作AP1⊥x轴交线段BC于点P1,则△BAP1∽△BOC,
∵点A的坐标为(2,0),
∴点P1的横坐标是2,
∵点P1在点BC所在直线上,
∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1,
∴点P1的坐标为(2,﹣1);
②过A作AP2⊥BC,垂足点P2,过点P2作P2Q⊥x轴于点Q.
∴△BAP2∽△BCO,
∴=,=
∴=,
解得AP2=,
∵=,
∴AP2•BP=CO•BP2,
∴×4=2BP2,
解得BP2=,
∵AB•QP2=AP2•BP2,
∴2QP2=×,
解得QP2=,
∴点P2的纵坐标是﹣,
∵点P2在BC所在直线上,
∴x=
∴点P2的坐标为(,﹣),
∴满足条件的P点坐标为(2,﹣1)或(,﹣).
科目:初中数学 来源: 题型:
数在线A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c,且 | c-1 |-| a-1 |=| a-c |。若下列选项
中,有一个表示A、B、C三点在数在线的位置关系,则此选项为何?
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科目:初中数学 来源: 题型:
如图,AB是大半圆O的直径,AO是小半圆M的直径,点P是大半圆O上一点,PA与小半圆M交于点C,过点C作CD⊥OP于点D.
(1)求证:CD是小半圆M的切线;
(2)若AB=8,点P在大半圆O上运动(点P不与A,B两点重合),设PD=x,CD2=y.
①求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
②当y=3时,求P,M两点之间的距离.
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科目:初中数学 来源: 题型:
如图,已知▱ABCD水平放置在平面直角坐标系xOy中,若点A,D的坐标分别为(﹣2,5),(0,1),点B(3,5)在反比例函数y=(x>0)图象上.
(1)求反比例函数y=的解析式;
(2)将▱ABCD沿x轴正方向平移10个单位后,能否使点C落在反比例函数y=的图象上?并说明理由.
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