Question

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AC的解析式；
（3）若点P是x轴上一个动点，过P作直线m∥AC交抛物线于点Q，随着点P的运动，使以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点Q的坐标；
（4）在直线AC上是否存在一点M，使△BDM 的周长最小？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A（-1，0），B（3，0）两点坐标代入y=-x²+bx+c，求出b，c的值即可得到抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式可得出A、C的坐标，设AC解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求解即可．
（3）先根据题意结合图形，画出点P和点Q的位置，然后利用平行线的性质，及抛物线上点的坐标特点可求出三个Q的坐标．
（4）因为BD的长固定，要使△BDM的周长最小，只需满足BM+DM的值最小即可，作点B关于AC的对称点B′，连接B′D，则与AC交点即是点M的位置，然后利用相似三角形的性质求出B′的坐标，得出B′D的解析式，继而联立AC与B′D的解析式可得出点M的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-1-b+c}\\{0=-9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+2x+3；
（2）当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3．
∵点A在点B的左侧，
∴A、B的坐标分别为（-1，0），（3，0）．
当x=0时，y=3．
∴C点的坐标为（0，3）
设直线AC的解析式为y=kx+b（k₁≠0），
则$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
（3）抛物线上有三个这样的点Q，如图1

①当点Q在Q₁位置时，Q₁的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q₁的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q₂位置时，点Q₂的纵坐标为-3，代入抛物线可得点Q₂坐标为（1+$\sqrt{7}$，-3）；
③当点Q在Q₃位置时，点Q₃的纵坐标为-3，代入抛物线解析式可得，点Q₃的坐标为（1-$\sqrt{7}$，-3）；
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q₁（2，3），Q₂（1+$\sqrt{7}$，-3），Q₃（1-$\sqrt{7}$，-3）．
（4）过点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC 的对称点．连接B′D交直线AC于点M，则点M为所求，如图2，
过点B′作B′E⊥x轴于点E．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2．
∴Rt△AOC∽Rt△AFB，
∴$\frac{CO}{BF}=\frac{CA}{AB}$，
由A（-1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=$\sqrt{10}$，AB=4．
∴$\frac{3}{BF}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴BF=$\frac{12}{\sqrt{10}}$，
∴BB′=2BF=$\frac{24}{\sqrt{10}}$，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，
∴$\frac{AO}{B′E}=\frac{CO}{BE}=\frac{CA}{BB′}$，
∴$\frac{1}{B′E}=\frac{3}{BE}=\frac{\sqrt{10}}{\frac{24}{\sqrt{10}}}$，
即$\frac{1}{B′E}$=$\frac{3}{BE}=\frac{5}{12}$．
∴B′E=$\frac{12}{5}$，BE=$\frac{36}{5}$，
∴OE=BE-OB=$\frac{36}{5}$-3=$\frac{21}{5}$．
∴B′点的坐标为（-$\frac{21}{5}$，$\frac{12}{5}$）．
设直线B′D的解析式为y=k₂x+b₂$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{4}{13}}\\{b2=\frac{48}{13}}\end{array}\right.$（k₂≠0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}+{b}_{2}=4}\\{-\frac{21}{5}{k}_{2}+{b}_{2}=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=\frac{4}{13}}\\{b2=\frac{48}{13}}\end{array}\right.$，
∴直线B′D的解析式为：y=$\frac{4}{13}$x+$\frac{48}{13}$，
联立B′D与AC的直线解析式可得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+3}\\{y=\frac{4}{13}x+\frac{48}{13}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{35}}\\{y=\frac{132}{35}}\end{array}\right.$，
∴M点的坐标为（$\frac{9}{35}$，$\frac{132}{35}$）．

点评 此题考查了二次函数的综合应用，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题需要我们熟练各个知识点的内容，认真探究题目，谨慎作答．