Question

7．如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），点C为抛物线上一点，且点C的横坐标为2，抛物线的对称轴EF交x轴于点E，交直线AC于点F．
（1）求点A、B 的坐标和直线AC的解析式；
（2）若G是y轴上一个动点，当∠AGC=90°时，求点G的坐标；
（3）在直线EF上是否存在点P，使⊙P与直线AC和y轴都相切，若存在，求出圆心P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把y=0代入抛物线y=x²-2x-3可求得点A、B 的坐标，把x=2代入抛物线中可求得点C的坐标，利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）根据直径所对的圆周角是直角画出∠AGC=90°，确定点G的位置，有两个符合条件的G点，作辅助线，构建直角三角形，先根据坐标特点及中点定义得出D的坐标，计算AC的长，则半径为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，根据勾股定理计算G₁H的长，利用坐标证明△AOM和△DMH是等腰直角三角形，从而得出点G的坐标；
（3）存在两个P点，根据切线长定理可知，①∠OMC的平分线与EF的交点为P，②∠GMC的平分线与EF的交点为P；作辅助线，构建直角三角形，根据抛物线的对称轴为x=1可知，P的横坐标为1，分别根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求纵坐标即可．

解答 解：（1）当y=0时，x²-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x₁=3，x₂=-1，
∵A点在B点左侧，
∴A（-1，0），B（3，0），
当x=2时，y=x²-2x-3=-3，
∴C（2，-3），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-1，0），C（2，-3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{2k+b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-x-1；
（2）取AC的中点D，以D为圆心，以AD为半径作圆交y轴于G₁、G₂，
连接DG₁，DG₂，过D作DH⊥y轴于H，
此时∠AG₁C=∠AG₂C=90°，
∵A（-1，0），C（2，-3），
∴D（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），AC=$\sqrt{（2+1）^{2}+（0+3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴AD=DG₁=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∵DH=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：G₁H=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
设直线AC交y轴于M，
当x=0时，y=-1，
∴OM=1，
∵OA=1，
∴OA=OM，
∴△AOM是等腰直角三角形，
∴∠AMO=∠DMH=45°，
∴△DMH是等腰直角三角形，
∴DH=HM=$\frac{1}{2}$，
∴OG₁=G₁H-OH=$\frac{\sqrt{19}}{2}$-1-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{19}-3}{2}$，
OG₂=$\frac{\sqrt{19}}{2}$+1+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{19}+3}{2}$，
∴点G的坐标是（0，$\frac{\sqrt{19}-3}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{19}+3}{2}$）；
（3）存在，
如图2，⊙P与y轴、AC都相切，切点分别为G、H，连接PG、PH，则PG⊥y轴，PH⊥AC，过H作NQ⊥y轴，则NQ⊥EF
∴△NMH是等腰直角三角形，
∵∠MHP=90°，
∴∠PHQ=45°，
∴△PHQ是等腰直角三角形，
∵PG=PH=1，
∴PQ=HQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴HN=NM=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵GN=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴GM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
∴OG=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$，
∴P（1，$\sqrt{2}$-2）；
如图3，切点为G、H，连接PG、PH，则PG⊥y轴，PH⊥AC，
过H作NQ∥y轴，交GP的延长线于N，过M作MQ⊥y轴，则四边形MGNQ是矩形，
∵PG=PH=1，∠GMH=45°，
连接PM，则PM平分∠GMH，
∴∠GMP=∠PMH=22.5°，
∴∠HMQ=45°，
∴△MQH是等腰直角三角形，
∵∠GPM=∠MPH=67.5°，
∴∠NPH=45°，
∴△PNH是等腰直角三角形，
∴PN=NC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MQ=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴MG=QN=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$+1，
∴OG=OM+MG=1+$\sqrt{2}$+1=2+$\sqrt{2}$，
∴P（1，-2-$\sqrt{2}$），
综上所述，圆心P的坐标是（1，$\sqrt{2}$-2）或（1，-2-$\sqrt{2}$）．

点评 本题是二次函数与圆的综合题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、抛物线与x轴的交点、圆周角定理、切线长定理等知识，有难度，注意2、3问要分类讨论，不要丢解，熟练掌握：①直径所对的圆周角是直角；②从圆外一点引圆的切线，切线长相等，它与圆心的连线平分切线所在的夹角；本题的关键是确定点G和P的位置．