Question

已知关于x的一元二次方程mx²+（m-1）x+n=0．
（1）若6m+n=2，求证：此方程有一个根为2；
（2）在（1）的条件下，二次函数y=mx²+（m-1）x+n 的图象经过点（1，2），求代数式的值；
（3）当时，求证：此方程总有两个不相等的实数根．

Answer 1

解：∵方程mx²+（m-1）x+n=0是关于x的一元二次方程，
∴m≠0．
（1）∵6m+n=2，∴n=2-6m．
∵△=（m-1）²-4mn=m²-2m+1-4mn
=m²-2m+1-4m（2-6m）
=25m²-10m+1
=（5m-1）²．
由求根公式，得x=，
∴x₁=2，x₂=．
故若6m+n=2，此方程有一个根为2；

（2）∵二次函数y=mx²+（m-1）x+n 的图象经过点（1，2），（2，0），
∴，
解得．
∴=[-]•
=•
=
=
=；

（3）∵＜n＜0，即m＜0，n＜0，
∴n＞，-4mn＞-m²，
∴△=（m-1）²-4mn＞m²-2m+1-m²=1-2m＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根．
分析：（1）先将6m+n=2变形为n=2-6m，再将n=2-6m代入一元二次方程mx²+（m-1）x+n=0的根的判别式中，求出△=（5m-1）²，然后代入求根公式即可；
（2）在（1）的条件下，即二次函数y=mx²+（m-1）x+n 的图象经过点（2，0），将点（1，2），（2，0）代入y=mx²+（m-1）x+n，得到关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，再代入化简后的式子中，计算即可；
（3）由＜n＜0，得出-4mn＞-m²，代入一元二次方程mx²+（m-1）x+n=0的根的判别式中，求出△1-2m＞0，即可证明此方程总有两个不相等的实数根．
点评：本题主要考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△与方程根的关系，分式的化简求值，二次函数图象上点的坐标特征，有一定难度．