Question

如图，在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程的两个根，且OA＞OB．

（1）求sin∠ABC的值．
（2）若E为x轴上的点，且，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2） ，y_DE=   △AOE∽△DAO（3）F₁ (3 ， 8) ；  F₂ (－3 ， 0) ；  F₃ ( ，)； F₄（－，）

解：(1) 解x²-7x+12=0得x₁=4，x₂=3
∵OA＞OB
∴OA =4， OB=3          ·························· 1分
在Rt△AOB中，由勾股定理有AB= 
∴sin∠ABC==           ······················· 1分
（2）∵点E在x轴上，S_△AOE=   有
得      ∴E（，0）或E（—，0）················· 1分
由已知可知D（6，4）    设，   
当时有
解得     
∴    ···························· 1分
同理时，y_DE=      ·················· 1分
在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=
在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6
∵
∴△AOE∽△DAO               ······················· 1分
（3）满足条件的点有四个
F₁ (3 ， 8) ；  F₂ (－3 ， 0) ；  F₃ ( ，)； F₄（－，）
······································ 4分
说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评分标准酌情给分．
（1）解一元二次方程求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求出AB的长度，再代入计算即可；
（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
（3）根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．