把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起(如图①),且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转(旋转角a满足条件:<a<),四边形 CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图②).
(1)在上述旋转过程中,BH与CK有怎样的数量关系?四边形CHGK的面积有何变化?证明你发现的结论;
(2)连接HK,在上述旋转过程中,设BH=x,△GKH的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在(2)的前提下,是否存在某一位置,使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的?若存在,求出此时x的值;若不存在,说明理由.
(l)在上述旋转过程中,BH=CK,四边形CHGK的面积不变.证明:连结CG∵△ABC为等腰直角三角形,O(G)为其外边中点,∴CG=BG,CG⊥AB,∴∠ACG=∠B=,∵∠BGH与∠CGK均为旋转角,∴∠BGH=∠CGK,∴△BGH≌△CGK,∴BH=CK,S△BGH=S△CGK,∴S四边形CHGK=S△CHG+S△CGK=S△CHG+S△BGH=S△ABC=××4×4=4,即S四边形CHGK的面积为4,是一个定值,在旋转过程中没有变化; (2)∵AC=BC=4,BH=x,∴CH=4-x,CK=x,由S△GHK=S四边形CHGK-S△CHK,得y=4-x(4-x),∴y=x2-2x+4,∵<α<,0<x<4; (3)存在.根据题意得x2-2x+4=×8,解这个方程得x1=1,x2=3,即当x=1或x=3时,△GHK的面积均等于△ABC面积的. |
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