Question

同学们，这学期我们学过不少定理，你还记得“在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，请你写出它的逆命题，并证明它的真假．

Answer 1

解：原命题的逆命题为：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°．
已知：△ABC中，BC=AB，∠ACB=90°．
求证：∠BAC=30°
证明：延长BC至D，使CD=BC．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
在△ACD和△ABC中，，
∴△ACD≌△ABC，
∴AD=AB．
∵AB=2BD，BC=DC，
∴AB=DB，
∴△ADB为等边三角形．
∴∠B=60°．
∵AC⊥DB，
∴∠CAB=30°．
分析：逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°．
证明方法：延长BC至D，使CD=BC，由等腰三角形的性质可知∠ACB=90°，则△ACD≌△ABC，故∠BAC=30°．
点评：本题考查的是直角三角形的性质和等边三角形的判定．