Question

11．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，12）和B（6，2）两点．点P是线段AB上一动点（不与点A和B重合），过P点分别作x、y轴的垂线PC、PD交反比例函数图象于点M、N，则四边形PMON面积的最大值是（　　）

• A． $\frac{25}{2}$
• B． $\frac{25}{3}$
• C． 6
• D． 12

Answer 1

分析 设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，一次函数解析式为y=ax+b，根据点的坐标利用待定系数法求出反比例与一次函数的解析式，再利用分割图形求面积法找出S_{四边形PMON}关于m的函数关系式，利用配方法解决最值问题．

解答 解：设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，一次函数解析式为y=ax+b，
将点A（1，12）代入y=$\frac{k}{x}$中，得k=12，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{12}{x}$，
将点A（1，12）、B（6，2）代入y=ax+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{12=a+b}\\{2=6a+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=14}\end{array}\right.$，
∴一次函数解析式为y=-2x+14．
设点P的坐标为（m，14-2m），
则S_{四边形PMON}=S_矩形OCPD-S_△OCM-S_△ODN=S_矩形OCPD-|k|=m（14-2m）-12=-2m²+14m-12=-2$（m-\frac{7}{2}）^{2}$+$\frac{25}{2}$，
∴四边形PMON面积的最大值是$\frac{25}{2}$．
故选A．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数与一次函数交点的问题，解题的关键是找出S_{四边形PMON}关于m的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，利用分割图形求面积法是解题的关键．