Question

【题目】小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：

问题情境：（1）如图1，四边形中，，点为边的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：；(表示面积)

问题迁移：（2）如图2：在已知锐角内有一个定点.过点任意作一条直线分别交射线于点.小明将直线绕着点旋转的过程中发现，的面积存在最小值，请问当直线在什么位置时，的面积最小，并说明理由．

实际应用：（3）如图3，若在道路之间有一村庄发生疫情，防疫部门计划以公路和经过防疫站的一条直线为隔离线，建立个面积最小的三角形隔离区，若测得试求的面积．(结果保留根号)(参考数据：)

拓展延伸：（4）如图4，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标分别为，过点的直线与四边形一组对边相交，将四边形分成两个四边形，求其中以点为顶点的四边形面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当直线旋转到点是的中点时最小；（3）；（4）10．

【解析】

（1）根据可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S△ADE＝S△FCE就可以得出结论；
（2）根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性质可以得出结论；

（3）如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，再根据条件由三角函数值就可以求出结论；

（4）分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N，延长OC、AB交于点D，由条件可以得出AD＝6，就可以求出△OAD的面积，再根据问题迁移的结论就可以求出最大值；
当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，延长CB交x轴于T，由B、C的坐标可得直线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出△OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较就可以求出结论．

（1）证明：，

点为边的中点，

，

，

，

即

（2）当直线旋转到点是的中点时，最小，如图2，

过点的另一条直线交于点，

设，过点作交于，

由问题情境可以得出当是的中点时．

，

，

当点是的中点时，最小

（3）如图3，作，垂足分别为，

在中，

，

．

由问题迁移的结论知道，

当时，的面积最小，

．

在中，

，

，

（4）①如图4，当过点的直线与四边形的一组对边分别交于点，延长交于点，

，

，

，

，

由问题迁移的结论可知，当时，的面积最小，

四边形的面积最大．

作垂足分别为，

点为中点

，

②如图5，当过点的直线与四边形的另一组对边分别交延长交轴于，

，，

设直线的解析式为，由题意，得

，解得

，

当时，，

由问题迁移的结论可知，当时，的面积最小，

四边形的面积最大．

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

综上所述：截得四边形面积的最大值为．