Question

（2011•宝安区一模）阅读材料：
（1）对于任意实数a和b，都有（a-b）²≥0，∴a²-2ab+b²≥0，于是得到a²+b²≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
（2）任意一个非负实数都可写成一个数的平方的形式．即：如果a≥0，则a=(

a

)2．如：2=(

2

)2，3=(

3

)3等．
例：已知a＞0，求证：a+

1

2a

≥

2

．
证明：∵a＞0，∴a+

1

2a

=(

a

)2+(

1

2a

)2≥2×

a

×

1

2a

=

2

∴a+

1

2a

≥

2

，当且仅当a=

2

2

时，等号成立．
请解答下列问题：
某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成（如图所示）．设垂直于墙的一边长为x米．
（1）若所用的篱笆长为36米，那么：
①当花圃的面积为144平方米时，垂直于墙的一边的长为多少米？
②设花圃的面积为S米²，求当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大？并求出这个最大面积；
（2）若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？

Answer 1

分析：（1）①用含x的代数式表示出矩形的另一边的长，再根据矩形的面积公式即可建立方程，方程的解即为垂直于墙的一边的长；
②利用二次函数的性质即可求出当垂直于墙的一边的长为多少米时，这个花圃的面积最大值和此时的面积；
（2）设所需的篱笆长为L米，由题意得：L=2x+

200

x

，再根据给出的材料提示即可求出需要用的篱笆最少是多少米．

解答：（1）解：由题意得 x（36-2x）=144，
化简后得 x²-18x+72=0
解得：x₁=6，x₂=12，
答：垂直于墙的一边长为6米或12米；

（2）解：由题意得
S=x（36-2x）=-2x²+36x，
=-2（x-9）²+162，
∵a=-2＜0，∴当x=9时，S取得最大值是162，
∴当垂直于墙的一边长为9米时，S取得最大值，最大面积是162m²；

（3）解：设所需的篱笆长为L米，由题意得L=2x+

200

x

，
即：L=(

2x

)2+(

200 x

)2≥2×

2x

×

200 x

=40，
∴若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是40米．

点评：此题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．