Question

8．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、BC，S_△ABC是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设出P点坐标，则可表示出C点坐标，从而可表示出PC的长，再利用二次函数的性质可求得PC的最大值，及P点的坐标；
（3）由（2）可求得PC的最大值，利用PC可表示出△ABC的面积，由（2）可求得其最大值．

解答 解：
（1）∵点B（4，m）在直线y=x+2上，
∴m=4+2=6，
∴B（4，6），
∵抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）过A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+6=\frac{5}{2}}\\{16a+4b+6=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=2x²-8x+6；

（2）∵P点在线段AB上，
∴可设P（t，t+2）（$\frac{1}{2}$＜t＜4），
∵PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，
∴C（t，2t²-8t+6），
∴PC=t+2-（2t²-8t+6）=-2t²+9t-4=-2（t-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{49}{8}$，
∵-2＜0，
∴当t=$\frac{9}{4}$时，PC有最大值，最大值为$\frac{49}{8}$，此时P点坐标为（$\frac{9}{4}$，$\frac{13}{2}$），
即存在满足条件的点P，当P点坐标为（$\frac{9}{4}$，$\frac{13}{2}$）时，PC有最大值$\frac{49}{8}$；

（3）∵S_△ABC=S_△PCA+S_△PCB=$\frac{1}{2}$PC（4-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$PC，
∴当PC最大时，△ABC的面积最大，
由（2）可知PC有最大值$\frac{49}{8}$，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{7}{4}$×$\frac{49}{8}$=$\frac{343}{32}$，即△ABC的面积存在最大值．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积等知识．在（1）中求得B点坐标是解题的关键，在（2）中用P点坐标表示出PC的长是解题的关键，在（3）中用PC表示出△ABC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．